Προθερμαίνετε τον φούρνο στους 180 °C. Αφήνετε τις μελιτζάνες στο σουρωτήρι με λίγο αλάτι για 15’ - 20’. Τις στραγγίζετε καλά.
Σοτάρετε τα κρεμμύδια με το σκόρδο στο λάδι μέχρι να γίνουν διάφανα. Προσθέτετε τον κιμά, τις μελιτζάνες, αλάτι, πιπέρι και συνεχίζετε το σοτάρισμα.
Ρίχνετε 1 φλιτζάνι νερό και τον τραχανά και μαγειρεύετε τη γέμιση, μέχρι να απορροφηθούν τα υγρά, αλλά να μη στεγνώσει. Αποσύρετε τη γέμιση από τη φωτιά και προσθέτετε τα αυγά, το βασιλικό, την ντομάτα και τα τυριά.
Απλώνετε σε ένα ταψί τέσσερα φύλλα λαδωμένα ένα - ένα χωριστά και βάζετε πάνω τη μισή γέμιση. Σκεπάζετε τη γέμιση με άλλα 2 φύλλα, επίσης αλειμμένα με λάδι. Απλώνετε την υπόλοιπη γέμιση και τη σκεπάζετε με τα υπόλοιπα φύλλα, επίσης λαδωμένα. Ψήνετε την πίτα στον φούρνο για 1 ώρα περίπου.